2021-04-13 (火)

数学

https://www.isibang.ac.in/~sury/algoiisc.pdf を読んで、類数を計算する際に見るべき素イデアルのノルム上限について、0.1 (ln |D|)^2 みたいな値を採用した際にあとでイデアル類群や単数群が間違っている場合にどうやって検知するかを考えたが、わからなかった。生成元が足りている状態で関係式が足りない場合は、暫定類数や暫定単数規準が大きくなるので、オイラー積との兼ね合いで検知できるのだが、生成元がそもそも足りないと暫定類数は小さくなる方向へ行くはずで、でも生成元が足りないことに気づく方法はなさそう。

趣味開発

代数体の整数環に含まれる 1 の冪根の個数を数える機能を実装した。ただし、埋め込みの絶対値の 2 乗和が n + 1/16 以下であるような整数全てが必ずしも 1 の冪根であるとは限らないので (non-example: Q(d^{1/n}) における d^{1/n} は全ての埋め込みで絶対値が 1 より微妙に大きい値になるはずで、埋め込みの絶対値の 2 乗和は d^{2/n}n であり、d >= 2 なので d^{2/n}n > n + 1/16 となってしまう。実例を作るのは難しい)、見つかった値全てに対して実際に何乗かして 1 になることを確かめる必要がある。今回の実装ではそれを忘れている。