数学
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~wang/teaching/b20405.pdf を参考にして、(bar X - μ) / sqrt(S / n) が t 分布に従うことを少し追った。
- X ~ N(0, 1), Y ~ χ_n^2 で X と Y が独立のとき、Z := X/sqrt(Y/n) の従う分布の確率密度関数は Γ*1 * (z^2/n+1)^{-(n+1)/2} である。つまり自由度 n の t 分布に従う。
これは積分計算でできる。
- X_1, ..., X_{n+1} ~ N(μ, σ^2) のとき、(bar X - μ)sqrt(n) / σ ~ N(0, 1), nS / σ^2 ~ χ_n^2
多分正しい。不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布 | 高校数学の美しい物語 にそれっぽいことが書いてあると思うけど、ちゃんと読んでいない。
- X_1, ..., X_{n+1} ~ N(μ, σ^2) のとき、bar X - μ と S は独立である。
これはよくわからないが、これも 不偏分散と自由度n-1のカイ二乗分布 | 高校数学の美しい物語 に書いてあるはず。
*1:n+1)/2)/(sqrt(n*pi)Γ(n/2
